2006년 04월 25일
깜짝 시험의 역설
금요일 오후 학교를 마치면서 선생님이 학생들에게 말한다.
"다음주에는 깜짝 시험이 있을 예정이다. 월요일에서 금요일 중 하루에 시험을 볼 것이다. 하지만 언제 볼 지는 미리 알 수 없다."
그러자 한 학생이 선생님에게 말한다.
"선생님은 다음 주에 깜짝 시험을 볼 수 없을 걸요?"
선생님이 왜냐고 묻자 아래와 같이 대답한다.
"만약 우리가 목요일까지 시험을 보지 않는다면 목요일 저녁에는 금요일날 시험을 볼 것이라는 것을 알 수 있을 겁니다. 따라서 금요일에 보는 시험은 깜짝 시험이라고 할 수 없습니다."
그러자 선생님이 그럼 월~목에 시험을 보면 되지 않냐고 묻자 학생은 다음과 같이 대답한다.
"다른 요일도 마찬가지 입니다. 금요일에는 깜짝 시험을 볼 수 없기 때문에 만약 수요일 까지 시험을 보지 않았다면 목요일에 시험을 볼 것이라는 것을 수요일 저녁에 알 수 있을 것입니다. 역시 목요일에 보는 시험도 깜짝 시험이라고 할 수 없습니다. 마찬가지로 수요일, 화요일, 월요일에도 깜짝 시험을 볼 수가 없습니다. 따라서 선생님은 다음주에 깜짝 시험을 볼수가 없습니다."
하지만 그 다음주에 선생님은 수요일에 깜짝 시험을 봤고, 그 학생은 분명 예상하지 못했을 것이다. 학생의 추론은 어디가 잘못되었을까?
"다음주에는 깜짝 시험이 있을 예정이다. 월요일에서 금요일 중 하루에 시험을 볼 것이다. 하지만 언제 볼 지는 미리 알 수 없다."
그러자 한 학생이 선생님에게 말한다.
"선생님은 다음 주에 깜짝 시험을 볼 수 없을 걸요?"
선생님이 왜냐고 묻자 아래와 같이 대답한다.
"만약 우리가 목요일까지 시험을 보지 않는다면 목요일 저녁에는 금요일날 시험을 볼 것이라는 것을 알 수 있을 겁니다. 따라서 금요일에 보는 시험은 깜짝 시험이라고 할 수 없습니다."
그러자 선생님이 그럼 월~목에 시험을 보면 되지 않냐고 묻자 학생은 다음과 같이 대답한다.
"다른 요일도 마찬가지 입니다. 금요일에는 깜짝 시험을 볼 수 없기 때문에 만약 수요일 까지 시험을 보지 않았다면 목요일에 시험을 볼 것이라는 것을 수요일 저녁에 알 수 있을 것입니다. 역시 목요일에 보는 시험도 깜짝 시험이라고 할 수 없습니다. 마찬가지로 수요일, 화요일, 월요일에도 깜짝 시험을 볼 수가 없습니다. 따라서 선생님은 다음주에 깜짝 시험을 볼수가 없습니다."
하지만 그 다음주에 선생님은 수요일에 깜짝 시험을 봤고, 그 학생은 분명 예상하지 못했을 것이다. 학생의 추론은 어디가 잘못되었을까?
# by | 2006/04/25 10:52 | 논리학 | 트랙백 | 덧글(11)
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학생의 추론 자체는 본문에 나오듯이 맨 처음에 "만약 우리가 목요일까지 시험을 보지 않는다면" 이란 가정으로 시작하고 있습니다. 이 가정이 성립하지 않으면 뒤에 나오는 모든 추론은 의미가 없어지게 되죠. 그런데 선생님은 수요일에 시험을 봤다면서요. 학생의 가정이 틀린 거죠. 그러므로 학생의 예상이 틀린 거니 깜짝시험이죠.
수요일까지 시험을 보지 않았다면 금요일은 깜짝 시험을 보지 않을 것이므로 목요일에 보는 시험은 깜짝 시험이 아니다. → 금요일은 깜짝 시험만 보는 날이 아닙니다. 일반적인 '시험'도 볼 수 있지요. 따라서 목요일에 보는 시험이 깜짝 시험이 된다고 보기는 어렵다고 생각합니다.
......그래도 뒤가 께림칙하군요. -_-
2. ~까지 시험을 봤다면 깜짝시험이 될 수 없다.
1은 있지만 2가 없어서 문제인것 같습니다.
자세히 보면 1과 관련된 명제들이 2를 증명할 수 있을것 같지만 그렇지 않습니다.
요일을 월,화로 좁혀서 생각하면
(1) 월요일에 시험을 안본다면 화요일엔 깜짝시험이 될 수 없다.
(2) 화요일엔 볼 수 없으므로 월요일이 깜짝시험이 아니다.
(3) 따라서 월,화 언제도 깜짝시험을 볼 수 없다.
A. 월요일에 시험을 본다면 깜짝시험이 될 수 없다
(2)로 A를 증명할 수 없습니다.
(2)가 되려면 (1)이 참이어야 합니다. 하지만 월요일에 시험을 봤기 때문에 (2)로는 A를 증명할 수 없습니다.
따라서 명제 A를 증명해야 학생의 추론이 참이되는 것입니다.
결론은 (1),(2),A 모두 증명이 되어야 추론이 참이된다는 것인데...
틀린 부분 있으면 알려주세요.. ^^ 재미있네요..
말그대로 '깜짝 시험' 이란 학생들이 예측 못 한 날 시험을 보는걸로 정의할수 있습니다.
그리고 위 논지대로라면 예측은 5번을 하게 되는겁니다. 5일중 5번예측을 하므로 깜짝 시험을 불가능하다고 결론이 나온거죠. 5개의 상자 중 한 상자에 돈이 들어있는데 기회를 5번 준다면 누구든지 그 돈을 얻겠죠. 1번상자에 없다면 2번상자. 2번상자에 없다면 3번상자.....이 목요일날 와야한다 안오면 금요일날 오기때문에. 여기서 목요일날로 예측을 했기 때문에 목요일날 오면 깜짝시험이 될 수 없습니다. 하지만 목요일날로 예측했는데 안오면 요일날 오는걸로 예측하기때문에 두번예측을 한거죠.
이 사고로 역설은 해결 된 걸 까요.