St Petersburg의 역설

누군가 다음과 같은 도박을 제안한다고 하자.

"만약 앞면이 나오면 당신은 거는 돈을 잃게 됩니다. 뒷면이 나오면 계속 던져서 뒷면이 나온 횟수에 따라 돈을 받게 됩니다. 1번 나올경우 $2, 2번 나올경우 $4, 3번 나올경우 $8, n번 나올 경우 $2^N을 받게 됩니다."

과연 이 도박은 얼마를 걸고 하는 것이 정당할까?

도박에 거는 정당한 돈은 기대수익으로 계산할 수 있다.

1/2 확률로 $2
1/4 확률로 $4
1/8 확률로 $8
...

즉 기대수익은 ∑(1/2^n)*(2^n) = 1+1+1+1 ... 이므로 ∞가 된다. 즉 어떠한 유한한 숫자의 돈을 걸어도 이득이라는 뜻이다. 그렇다면 어떤 도박사가 100만불을 걸고 이 도박을 하라고 한다면 해야할까?

by 달삼 | 2006/04/25 10:59 | 논리학 | 트랙백(1) | 덧글(9)

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Tracked from conan's lazy.. at 2006/05/11 11:43

제목 : 로또의 심리학 - St Petersburg의 역설
St Petersburg의 역설을 처음 보고는 뭔가 계산이 잘못된게 아닌가 한참을 생각했는데, 계산은 틀림이 없습니다. 일반적으로 로또 같은 복권은 기대수익금이 투자금액보다 낮은데 이건 훨씬 높은, 아니 기대수익금이 무한대입니다. 계산상으로는 무조건 투자해야 하는 도박입니다. 그럼에도 투자를 망설이게 되는 이유들도 윗 글에 나와 있는데......more

Commented by 다라나 at 2006/04/26 08:47
도박 자체는 확률로 표현할 수 있지만, 도박하는 "사람"은 확률로 표현할 수 없죠. 확률은 "사람"을 나타내는 극히 일부분일 뿐이죠. 더구나 "돈"이란 것도 확률로 전부 표현할 수 없는 것이죠. 물론 "도박"도 확률로 모두 표현할 수는 없는 것이죠. 도박이란 '사람'과 '돈'과 '도박의 룰'이 모인 거니까요.

그러므로 이 질문 자체가 모순입니다만, 굳이 수학적으로 따진다면 100만불로 저 도박을 하기보다는 다른 일을 할 확률이 더 높다고 생각합니다. ^^

맨날 눈팅만 하다가 처음으로 댓글을 달만해서 글 남깁니다. 황사 조심하시고 건강하세요.
Commented by 달삼 at 2006/04/26 10:07
다라나/ 기대수익이 0.5 정도 밖에도 안되는 로또도 수많은 사람들이 한다는 것을 보면 하는 사람도 있지 않을까요? 이 문제도 역시 여러 설이 있습니다만, 이것도 여러 설이 있는데 하나는 충분한 수의 게임을 원하는 만큼 할 수 있다면 하는 것이 낫다고 합니다. 문제는 시간과 판돈인데, 여기서 말하는 충분한 수라는 것이 수백만 게임을 의미할 수도 있기 때문에 현실적으로는 불가능하다는 것이죠. (개인적으로는 이 설에 한표!) 또 다른 설은 경제학의 한계 효용을 들어서 설명을 하는데 상금이 올라갈 수록 상금이 주는 가치는 2배씩이 아니라 그 이하로 증가한기 때문에 (100억을 가졌을때보다 200억을 가졌을때 2배 가치 있는 것은 아니라는 논리) 한계 가치를 고려한 기대수익은 무한대가 되지 않는 다는 설이죠.
Commented by 몽상쟁이 at 2006/04/26 12:52
시간과 판돈... 공감합니다. ㅇㅅㅇ; 운이 좋아서 한번에 가져갈 수도 있지만, '언젠가'는 가져갈 수도 있는 돈을 결국 못 가져가는 경우도 있겠지요. 우리 삶도 마찬가지 아니겠습니까. ㅋㅋㅋ
Commented by 이린 at 2006/04/27 08:23
저 게임이라면.... 처음에 $1걸고, 잃으면 잃은만큼의 배로 거는 방식을 취할 수 있다면 정말 돈을 벌것 같은데? ^_^ 따면 다시 $1불부터 시작...
Commented by 달삼 at 2006/04/27 09:32
이린/ ㅋㅋ 돈은 맘대로 거는게 아니라 정해진 금액이어야지. 근데 기대수익을 봐서는 판돈을 백만불을 해도 이익이라는 거지.
Commented by 이린 at 2006/04/27 13:23
저 질문 자체에는 그런얘기가 없는데? ^_^;;
질문자체는 정당할까? 까지 잖아.
Quote - "스펙대로 하시고 스펙에 없는건 맘대로 해도 된다는 뜻." - 이경호
Commented by 달삼 at 2006/04/27 13:49
이린/ ㅎㅎ 진짜 질문은 맨 마지막인데... "100만불을 걸고 하라고 해도 해야할까?" 이거... 정당할까? 는 자문자답이지 정당함은 기대수익으로 계산해야한다는 ㅋㅋ
Commented by 세라비 at 2006/05/03 14:25
microeconomics를 공부하면 이 문제에 대한 해결책이 나오죠. (http://en.wikipedia.org/wiki/St._Petersburg_paradox)
Commented by 달삼 at 2006/05/04 12:37
세라비/ 넵 그 답이 한계 효용 때문에 실제로는 그럴만한 가치가 없다는 이론이죠. 하지만 위에서도 말했듯이 한 판이 아니라 원하는 만큼 게임을 계속할 수 있다는 가정하에서는 정확히 적용하기 힘든 해법입니다. 효용을 숫자화 하기도 힘들구요.

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