2006년 05월 07일
Arrow의 불가능성 정리
a77ila님의 "집단지성이 있다면 왜 우리는 정치에서는 멍청한 판단을 하는가?"라는 글을 읽고 갑자기 Arrow의 불가능성 정리가 생각 났습니다. Arrow의 불가능성 정리는 이른바 민주주의적 의사결정 과정이 불가능하다는 것을 증명한 이론입니다. "게임 이론"이 보이지 않는 손에 의해 "파레토 최적"을 찾을 수 있다고 주장하는 시장경제체제의 모순을 주장한 것과 더불어 현재 정치, 경제 이론에서 가장 많이 논란이 되고 여러 논문에서 인용된 이론 중의 하나지요.
조금 자세히 설명하자면 Arrow는 아래와 같은 원칙을 만족시키는 사회 후생 함수를 만들어 내는 것이 불가능하다고 하였습니다. 사회 후생 함수란 특정 문제에 대해서 각 사회 구성원들의 효용 수준을 가지고 사회 전체의 효용 수준을 계산해 내는 함수입니다. 대통령 선거에서 사회가 개개인의 선호를 가지고 투표하여 사회가 가장 선호하는 후보를 뽑는 과정과 같다고 생각하시면 됩니다.
말이 복잡해서 그렇지 모두 당연해 보이는 원칙들입니다. 이와 같은 원칙은 a77ila님의 글에서 언급하셨던 James Surowiecki이 말한 의견의 다양성, 독립성, 분산화 및 집합과 사실상 일맥상통하는 것으로 생각됩니다. (저도 읽어 보지는 못했지만 ^^;;) 하지만 Arrow는 이 5가지 원칙을 모두 만족시키는 사회 후생 함수는 불가능하며 4가지를 만족시킬 경우 나머지 한가지를 어길수 밖에 없다는 것을 증명하였습니다.
간단하게 예를 들어 보겠습니다. "가"라는 사람은 A>B>C 순으로 좋아하고 "나"라는 사람은 B>A>C 순으로 좋아하고 "다"라는 사람은 C>A>B 순으로 좋아한다고 가정합니다. 여기서 투표 방법은 두 가지 중 하나를 선택하게 한 뒤 그 중 선택된 것을 나머지 하나와 놓고 비교하는 방식입니다.
예를 들어 "가"라는 사람에게 물어보았다면, "A, B 중 선호하는 것은? A", "A, C 중 선호하는 것은? A" 과정을 거쳐 A를 선택하는 방식입니다.
이를 사회 전체로 놓고 보죠. "A, B 중 선호하는 것은?"이라고 질문할때 가,다는 A를 나는 B를 선택함으로써 A가 선택됩니다. 그리고 "A, C 중 선호하는 것은?"의 경우에는 가, 나는 A, 다는 C를 선택하여 A가 선택되죠.
하지만 질문 순서를 바꾸어서 "A, C 중 선호하는 것은?"이라고 물어보면 가, 나는 C를 선택하고 다는 A를 선택하여 C가 선택되고 "B, C 중 선호하는 것은?"에서 가,나는 B를 다는 C를 선택하여 B가 선택되게 됩니다.
이는 투표 순서에 따라 특정 개인의 선호가 투표 결과에 나타나게 된 것으로 비독재성을 어긴 것입니다. 이와 똑같은 과정을 개인에게 적용했을 경우에는 문제가 없습니다. 만약 비독재성을 만족 시키는 투표방법을 만든다면 다른 원칙을 어긴다는 것을 보일 수가 있습니다.
이 같은 주장은 현대 정치학자들에게는 엄청난 충격이었고, 그 뒤에 이 논리를 깨뜨리려는 수많은 논문이 발표되었지만 모두 실패로 돌아갔습니다. 5가지 원칙 중 한개라도 약간만 회손하면 이를 깨뜨릴 수 있었지만 5가지 원칙을 모두 지킨 상태에서는 깨어지지 않았죠. 따라서 이를 따라 a77ila님의 질문에 대한 답을 드리면 역설적으로 집단 지성이 있기 때문에 정치는 멍청한(비합리적인) 판단을 할 수 밖에 없는 것입니다. ^^
http://koreanjurist.com/index.php?id=423
http://en.wikipedia.org/wiki/Arrow%27s_Impossibility_Theorem
조금 자세히 설명하자면 Arrow는 아래와 같은 원칙을 만족시키는 사회 후생 함수를 만들어 내는 것이 불가능하다고 하였습니다. 사회 후생 함수란 특정 문제에 대해서 각 사회 구성원들의 효용 수준을 가지고 사회 전체의 효용 수준을 계산해 내는 함수입니다. 대통령 선거에서 사회가 개개인의 선호를 가지고 투표하여 사회가 가장 선호하는 후보를 뽑는 과정과 같다고 생각하시면 됩니다.
- 이행성
- 독립성
- 비독재성
- 완비성
- 파레토원리
말이 복잡해서 그렇지 모두 당연해 보이는 원칙들입니다. 이와 같은 원칙은 a77ila님의 글에서 언급하셨던 James Surowiecki이 말한 의견의 다양성, 독립성, 분산화 및 집합과 사실상 일맥상통하는 것으로 생각됩니다. (저도 읽어 보지는 못했지만 ^^;;) 하지만 Arrow는 이 5가지 원칙을 모두 만족시키는 사회 후생 함수는 불가능하며 4가지를 만족시킬 경우 나머지 한가지를 어길수 밖에 없다는 것을 증명하였습니다.
간단하게 예를 들어 보겠습니다. "가"라는 사람은 A>B>C 순으로 좋아하고 "나"라는 사람은 B>A>C 순으로 좋아하고 "다"라는 사람은 C>A>B 순으로 좋아한다고 가정합니다. 여기서 투표 방법은 두 가지 중 하나를 선택하게 한 뒤 그 중 선택된 것을 나머지 하나와 놓고 비교하는 방식입니다.
예를 들어 "가"라는 사람에게 물어보았다면, "A, B 중 선호하는 것은? A", "A, C 중 선호하는 것은? A" 과정을 거쳐 A를 선택하는 방식입니다.
이를 사회 전체로 놓고 보죠. "A, B 중 선호하는 것은?"이라고 질문할때 가,다는 A를 나는 B를 선택함으로써 A가 선택됩니다. 그리고 "A, C 중 선호하는 것은?"의 경우에는 가, 나는 A, 다는 C를 선택하여 A가 선택되죠.
하지만 질문 순서를 바꾸어서 "A, C 중 선호하는 것은?"이라고 물어보면 가, 나는 C를 선택하고 다는 A를 선택하여 C가 선택되고 "B, C 중 선호하는 것은?"에서 가,나는 B를 다는 C를 선택하여 B가 선택되게 됩니다.
이는 투표 순서에 따라 특정 개인의 선호가 투표 결과에 나타나게 된 것으로 비독재성을 어긴 것입니다. 이와 똑같은 과정을 개인에게 적용했을 경우에는 문제가 없습니다. 만약 비독재성을 만족 시키는 투표방법을 만든다면 다른 원칙을 어긴다는 것을 보일 수가 있습니다.
이 같은 주장은 현대 정치학자들에게는 엄청난 충격이었고, 그 뒤에 이 논리를 깨뜨리려는 수많은 논문이 발표되었지만 모두 실패로 돌아갔습니다. 5가지 원칙 중 한개라도 약간만 회손하면 이를 깨뜨릴 수 있었지만 5가지 원칙을 모두 지킨 상태에서는 깨어지지 않았죠. 따라서 이를 따라 a77ila님의 질문에 대한 답을 드리면 역설적으로 집단 지성이 있기 때문에 정치는 멍청한(비합리적인) 판단을 할 수 밖에 없는 것입니다. ^^
http://koreanjurist.com/index.php?id=423
http://en.wikipedia.org/wiki/Arrow%27s_Impossibility_Theorem
# by | 2006/05/07 12:43 | 트랙백 | 덧글(4)
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제가 생각하기에는, 투표 순서에 따라 social preference가 다르게 나온 이유는
비독재성을 어긴것이 아니라, 각각 individual에 선호에 대한 linearity가
없어서 그런거 같네요. 즉 윗분께서 말하신것 처럼 이행성을 어긴것이 맞는 것 같군요.